Matriz de rigidez de un elemento estructural
Considere un elemento prismático de eje
recto y sección constante, sometido a fuerzas y momentos concentrados en sus
extremos.
Las
relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos de los nudos, se hallarán
asignando un valor arbitrario a una componente de desplazamiento, mientras
todas las demás componentes de desplazamiento permanecen iguales a cero.
CARGA AXIAL.
Si se impide todo movimiento en el
extremo j, existirán las siguientes relaciones entre las fuerzas y
los desplazamientos:
$$u_{ i }=\frac { H_{ i }^{ I }L }{ EA } \\ H_{ i }^{ I }=\frac { EA }{ L } u_{ i }$$
$$H_{ j }^{ I }=-H_{ i }^{ I }\\ H_{ j }^{ I }=-\frac { EA }{ L } u_{ i }$$Si se impide todo movimiento en el extremo i, existirán las siguientes relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos:
$$u_{ j }=\frac { H_{ j }^{ II }L }{ EA } \\ H_{ j }^{ II }=\frac { EA }{ L } u_{ j }$$
$$H_{ i }^{ II }=-H_{ j }^{ II }\\ H_{ i }^{ II }=-\frac { EA }{ L } u_{ j }$$
Finalmente:
$$H_{ i }=H_{ i }^{ I }+H_{ i }^{ II }\\ H_{ i }=\frac { EA }{ L } u_{ i }-\frac { EA }{ L } u_{ j }$$
$$H_{ j }=H_{ j }^{ I }+H_{ j }^{ II }\\ H_{ j }=-\frac { EA }{ L } u_{ i }+\frac { EA }{ L } u_{ j }$$
FUERZA
CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR.
Para
deducir la relación entre las fuerzas y los desplazamientos, usaremos las
ecuaciones de pendiente y deflexión.
$$M_{ i }=\frac { 2EI }{ L } (2θ_{ i }+θ_{ j }-3ψ)\\ ψ=\frac { v_{ j }-v_{ i } }{ L } $$
$$M_{ i }=\frac { 4EI }{ L } θ_{ i }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ j }-\frac { 6EI }{ L } ψ\\ M_{ i }=\frac { 4EI }{ L } θ_{ i }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ j }-\frac { 6EI }{ L } \left( \frac { v_{ j }-v_{ i } }{ L } \right) \\ M_{ i }=\frac { 4EI }{ L } θ_{ i }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ j }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ j }+\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }\\ M_{ i }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 4EI }{ { L } } θ_{ i }-\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } v_{ j }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ j }$$
$$M_{ j }=\frac { 2EI }{ L } (θ_{ i }+2θ_{ j }-3ψ)\\ ψ=\frac { v_{ j }-v_{ i } }{ L } $$
$$M_{ j }=\frac { 2EI }{ L } θ_{ i }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ j }-\frac { 6EI }{ L } ψ\\ M_{ j }=\frac { 2EI }{ L } θ_{ i }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ j }-\frac { 6EI }{ L } \left( \frac { v_{ j }-v_{ i } }{ L } \right) \\ M_{ j }=\frac { 2EI }{ L } θ_{ i }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ j }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ j }+\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }\\ M_{ j }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ i }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ j }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ j }$$
$$V_{ i }=\frac { M_{ i }+M_{ j } }{ L } \\ M_{ i }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ i }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } v_{ j }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ j }\\ M_{ j }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ i }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } v_{ j }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ j }\\ M_{ i }+M_{ j }=\frac { 12EI }{ { L }^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 6EI }{ L } θ_{ i }-\frac { 12EI }{ { L }^{ 2 } } v_{ j }+\frac { 6EI }{ L } θ_{ j }\\ \frac { M_{ i }+M_{ j } }{ L } =\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } { v }_{ i }+\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } θ_{ i }-\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } v_{ j }+\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } θ_{ j }\\ { V }_{ i }=\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } { v }_{ i }+\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } θ_{ i }-\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } v_{ j }+\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } θ_{ j }$$
$$V_{ j }=-V_{ i }\\ V_{ j }=-\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } { v }_{ i }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } θ_{ i }+\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } { v }_{ j }-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } θ_{ j }$$
NOTACIÓN MATRICIAL.
$$H_{ i }=\frac { EA }{ L } u_{ i }-\frac { EA }{ L } u_{ j }\\ V_{ i }=\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } { v }_{ i }+\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } θ_{ i }-\frac { 12EI }{ L^{ 3 } } v_{ j }+\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } θ_{ j }\\ M_{ i }=\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ i }-\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } v_{ j }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ j }\\ H_{ j }=-\frac { EA }{ L } u_{ i }+\frac { EA }{ L } u_{ j }\\ V_{ j }=-\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } { v }_{ i }-\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } θ_{ i }+\frac { 12EI }{ L^{ 3 } } v_{ j }-\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } θ_{ j }\\ M_{ j }=\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } { v }_{ i }+\frac { 2EI }{ L } θ_{ i }-\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } v_{ j }+\frac { 4EI }{ L } θ_{ j }$$
Las
relaciones fuerza desplazamiento pueden expresarse en notación matricial, así:
$$\begin{bmatrix} \frac { EA }{ L } & 0 & 0 & -\frac { EA }{ L } & 0 & 0 \\ 0 & \frac { 12EI }{ L^{ 3 } } & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & 0 & -\frac { 12EI }{ L^{ 3 } } & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ 0 & \frac { 6EI }{ L^{ 2 } } & \frac { 4EI }{ L } & 0 & -\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } & \frac { 2EI }{ L } \\ -\frac { EA }{ L } & 0 & 0 & \frac { EA }{ L } & 0 & 0 \\ 0 & -\frac { 12EI }{ L^{ 3 } } & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & 0 & \frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ 0 & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 2EI }{ L } & 0 & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 4EI }{ L } \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} { u }_{ i } \\ { \upsilon }_{ i } \\ { \theta }_{ i } \\ { u }_{ j } \\ { \upsilon }_{ j } \\ { \theta }_{ j } \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} { H }_{ i } \\ { V }_{ i } \\ { M }_{ i } \\ { H }_{ j } \\ { V }_{ j } \\ { M }_{ j } \end{Bmatrix}$$
Donde:
$$K=\begin{bmatrix} \frac { EA }{ L } & 0 & 0 & -\frac { EA }{ L } & 0 & 0 \\ 0 & \frac { 12EI }{ L^{ 3 } } & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & 0 & -\frac { 12EI }{ L^{ 3 } } & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ 0 & \frac { 6EI }{ L^{ 2 } } & \frac { 4EI }{ L } & 0 & -\frac { 6EI }{ L^{ 2 } } & \frac { 2EI }{ L } \\ -\frac { EA }{ L } & 0 & 0 & \frac { EA }{ L } & 0 & 0 \\ 0 & -\frac { 12EI }{ L^{ 3 } } & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & 0 & \frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ 0 & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 2EI }{ L } & 0 & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 4EI }{ L } \end{bmatrix}$$
«K» es la matriz de rigidez del elemento.
$$u=\begin{Bmatrix} { u }_{ i } \\ { \upsilon }_{ i } \\ { \theta }_{ i } \\ { u }_{ j } \\ { \upsilon }_{ j } \\ { \theta }_{ j } \end{Bmatrix}$$
«u» es el vector de desplazamiento (traslaciones y giros).
$$f=\begin{Bmatrix} { H }_{ i } \\ { V }_{ i } \\ { M }_{ i } \\ { H }_{ j } \\ { V }_{ j } \\ { M }_{ j } \end{Bmatrix}$$
«f» es el vector de fuerzas (y momentos).
