Análisis de la matriz de rigidez por filas
Considere
un elemento prismático de eje recto y sección constante, sometido a fuerzas y
momentos concentrados en sus extremos.
La
matriz de rigidez «K» describe el comportamiento del elemento con referencia a
ciertos grados de libertad, a cada uno de los cuales se asigna una componente
de desplazamiento y una componente de fuerza. Se dice así que el elemento tiene
seis grados de libertad.
K=[EAL00−EAL00012EIL36EIL20−12EIL36EIL206EIL24EIL0−6EIL22EIL−EAL00EAL000−12EIL3−6EIL2012EIL3−6EIL206EIL22EIL0−6EIL24EIL]
FILA 1 DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.
u1=H1LEAH1=EALu1H4=−EALu1
Los
valores ubicados en la fila 1 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un desplazamiento unitario en el grado de libertad 1, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes
de desplazamiento.
u1=1H1=EALH4=−EAL
k11=EALk14=−EAL
FILA 2 DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.
V2=12EIL3u2M3=6EIL2u2V5=−V2=−12EIL3u2M6=6EIL2u2
Los
valores ubicados en la fila 2 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes
de desplazamiento.
u2=1V2=12EIL3M3=6EIL2V5=−V2=−12EIL3M6=6EIL2
k22=12EIL3k23=6EIL2k25=−12EIL3k26=6EIL2
k22,
k23, k25, k26 son las fuerzas (y momentos) necesarios en los grados de libertad
2, 3, 5, 6 para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2,
restringiendo todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
V2=6EIL2θ3M3=4EILθ3V5=−V2=−6EIL2θ3M6=2EILθ3
Los
valores ubicados en la fila 3 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un giro unitario en el grado de libertad 3, al mismo tiempo que se
restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes de
desplazamiento.
θ3=1V2=6EIL2M3=4EILV5=−V2=−6EIL2M6=2EIL
k32,
k33, k35, k36 son las fuerzas (y momentos) necesarios en los grados de libertad
2, 3, 5, 6 para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 3,
restringiendo todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
u4=H4LEAH4=EALu4H1=−EALu4
Los
valores ubicados en la fila 4 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un desplazamiento unitario en el grado de libertad 4, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes
de desplazamiento.
u4=1H1=−EALH4=EAL
k41=−EALk44=EAL
k41,
k44 son las fuerzas necesarias en los grados de libertad 1, 4 para producir un
desplazamiento unitario en el grado de libertad 4, restringiendo todo
movimiento (traslación o giro) en todos los demás grados de libertad.
V2=−12EIL3u5M3=−6EIL2u5V5=−V2=12EIL3u5M6=−6EIL2u5
Los valores ubicados en la fila 5 de la matriz de rigidez, se
deducen asignando un desplazamiento
unitario en el grado de libertad 5, al mismo tiempo que se restringe todo
movimiento (traslación o giro) en las demás componentes de desplazamiento.
u5=1V2=−12EIL3M3=−6EIL2V5=−V2=12EIL3M6=−6EIL2
k52=−12EIL3k53=−6EIL2k55=12EIL3k56=−6EIL2
k52,
k53, k55, k56 son las fuerzas (y momentos) necesarios en los grados de libertad
2, 3, 5, 6 para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 5,
restringiendo todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
V2=6EIL2θ6M3=2EILθ6V5=−V2=−6EIL2θ6M6=4EILθ6
Los
valores ubicados en la fila 6 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un giro unitario en el grado de libertad 6, al mismo tiempo que se
restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes de
desplazamiento.
θ6=1V2=6EIL2M3=2EILV5=−V2=−6EIL2M6=4EIL
k62=6EIL2k63=2EILk65=−6EIL2k66=4EIL
k62, k63, k65, k66 son las fuerzas (y
momentos) necesarios en los grados de libertad 2, 3, 5, 6 para producir un
desplazamiento unitario en el grado de libertad 6, restringiendo todo movimiento
(traslación o giro) en los demás grados de libertad.
ANÁLISIS
DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ POR COLUMNAS.
Debido a que la matriz de rigidez es
simétrica, el mismo análisis puede realizarse por columnas.
Los valores de la columna 1 de la matriz de rigidez, son las fuerzas necesarias en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 1, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los valores de la columna 2 de la matriz de rigidez, son las fuerzas y momentos
necesarios en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los valores de la columna 3 de la matriz de rigidez, son las fuerzas y momentos
necesarios en cada grado de libertad para producir un giro unitario en el grado de libertad 3, al mismo tiempo que se
restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
Los valores de la columna 4 de la matriz de rigidez, son las fuerzas necesarias en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 4, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los valores de la columna 5 de la matriz de rigidez, son las fuerzas y momentos
necesarios en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 5, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los
valores de la columna 6 de la matriz de
rigidez, son las fuerzas y momentos necesarios en cada grado de libertad
para producir un giro unitario en el
grado de libertad 6, al mismo tiempo que se restringe todo movimiento
(traslación o giro) en los demás grados de libertad.
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