Análisis de la matriz de rigidez por filas
Considere
un elemento prismático de eje recto y sección constante, sometido a fuerzas y
momentos concentrados en sus extremos.
La
matriz de rigidez «K» describe el comportamiento del elemento con referencia a
ciertos grados de libertad, a cada uno de los cuales se asigna una componente
de desplazamiento y una componente de fuerza. Se dice así que el elemento tiene
seis grados de libertad.
$$K=\begin{bmatrix} \frac { EA }{ L } & 0 & 0 & -\frac { EA }{ L } & 0 & 0 \\ 0 & \frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & 0 & -\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ 0 & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 4EI }{ L } & 0 & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 2EI }{ L } \\ -\frac { EA }{ L } & 0 & 0 & \frac { EA }{ L } & 0 & 0 \\ 0 & -\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & 0 & \frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ 0 & \frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 2EI }{ L } & 0 & -\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } & \frac { 4EI }{ L } \end{bmatrix}$$
FILA 1 DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.
$${ u }_{ 1 }=\frac { { H }_{ 1 }L }{ EA } \\ { H }_{ 1 }=\frac { EA }{ L } { u }_{ 1 }\\ { H }_{ 4 }=-\frac { EA }{ L } { u }_{ 1 }$$
Los
valores ubicados en la fila 1 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un desplazamiento unitario en el grado de libertad 1, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes
de desplazamiento.
$${ u }_{ 1 }=1\\ { H }_{ 1 }=\frac { EA }{ L } \\ { H }_{ 4 }=-\frac { EA }{ L } $$
$${ k }_{ 11 }=\frac { EA }{ L } \\ { k }_{ 14 }=-\frac { EA }{ L }$$
FILA 2 DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.
$${ V }_{ 2 }=12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } { u }_{ 2 }\\ { M }_{ 3 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { u }_{ 2 }\\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=-12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } { u }_{ 2 }\\ { M }_{ 6 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { u }_{ 2 }$$
Los
valores ubicados en la fila 2 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes
de desplazamiento.
$${ u }_{ 2 }=1\\ { V }_{ 2 }=12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { M }_{ 3 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=-12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { M }_{ 6 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } $$
$${ k }_{ 22 }=\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { k }_{ 23 }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { k }_{ 25 }=-\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { k }_{ 26 }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } $$
k22,
k23, k25, k26 son las fuerzas (y momentos) necesarios en los grados de libertad
2, 3, 5, 6 para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2,
restringiendo todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
$${ V }_{ 2 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { \theta }_{ 3 }\\ { M }_{ 3 }=4\frac { EI }{ L } { \theta }_{ 3 }\\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { \theta }_{ 3 }\\ { M }_{ 6 }=2\frac { EI }{ L } { \theta }_{ 3 }$$
Los
valores ubicados en la fila 3 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un giro unitario en el grado de libertad 3, al mismo tiempo que se
restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes de
desplazamiento.
$${ \theta }_{ 3 }=1\\ { V }_{ 2 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { M }_{ 3 }=4\frac { EI }{ L } \\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { M }_{ 6 }=2\frac { EI }{ L } $$
k32,
k33, k35, k36 son las fuerzas (y momentos) necesarios en los grados de libertad
2, 3, 5, 6 para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 3,
restringiendo todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
$${ u }_{ 4 }=\frac { { H }_{ 4 }L }{ EA } \\ { H }_{ 4 }=\frac { EA }{ L } { u }_{ 4 }\\ { H }_{ 1 }=-\frac { EA }{ L } { u }_{ 4 }$$
Los
valores ubicados en la fila 4 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un desplazamiento unitario en el grado de libertad 4, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes
de desplazamiento.
$${ u }_{ 4 }=1\\ { H }_{ 1 }=-\frac { EA }{ L } \\ { H }_{ 4 }=\frac { EA }{ L } $$
$${ k }_{ 41 }=-\frac { EA }{ L } \\ { k }_{ 44 }=\frac { EA }{ L } $$
k41,
k44 son las fuerzas necesarias en los grados de libertad 1, 4 para producir un
desplazamiento unitario en el grado de libertad 4, restringiendo todo
movimiento (traslación o giro) en todos los demás grados de libertad.
$${ V }_{ 2 }=-12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } { u }_{ 5 }\\ { M }_{ 3 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { u }_{ 5 }\\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } { u }_{ 5 }\\ { M }_{ 6 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { u }_{ 5 }$$
Los valores ubicados en la fila 5 de la matriz de rigidez, se
deducen asignando un desplazamiento
unitario en el grado de libertad 5, al mismo tiempo que se restringe todo
movimiento (traslación o giro) en las demás componentes de desplazamiento.
$${ u }_{ 5 }=1\\ { V }_{ 2 }=-12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { M }_{ 3 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=12\frac { EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { M }_{ 6 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } $$
$${ k }_{ 52 }=-\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { k }_{ 53 }=-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { k }_{ 55 }=\frac { 12EI }{ { L }^{ 3 } } \\ { k }_{ 56 }=-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } $$
k52,
k53, k55, k56 son las fuerzas (y momentos) necesarios en los grados de libertad
2, 3, 5, 6 para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 5,
restringiendo todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
$${ V }_{ 2 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { \theta }_{ 6 }\\ { M }_{ 3 }=2\frac { EI }{ L } { \theta }_{ 6 }\\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } { \theta }_{ 6 }\\ { M }_{ 6 }=4\frac { EI }{ L } { \theta }_{ 6 }$$
Los
valores ubicados en la fila 6 de la
matriz de rigidez, se deducen asignando un giro unitario en el grado de libertad 6, al mismo tiempo que se
restringe todo movimiento (traslación o giro) en las demás componentes de
desplazamiento.
$${ \theta }_{ 6 }=1\\ { V }_{ 2 }=6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { M }_{ 3 }=2\frac { EI }{ L } \\ { V }_{ 5 }=-{ V }_{ 2 }=-6\frac { EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { M }_{ 6 }=4\frac { EI }{ L } $$
$${ k }_{ 62 }=\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { k }_{ 63 }=\frac { 2EI }{ L } \\ { k }_{ 65 }=-\frac { 6EI }{ { L }^{ 2 } } \\ { k }_{ 66 }=\frac { 4EI }{ L } $$
k62, k63, k65, k66 son las fuerzas (y
momentos) necesarios en los grados de libertad 2, 3, 5, 6 para producir un
desplazamiento unitario en el grado de libertad 6, restringiendo todo movimiento
(traslación o giro) en los demás grados de libertad.
ANÁLISIS
DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ POR COLUMNAS.
Debido a que la matriz de rigidez es
simétrica, el mismo análisis puede realizarse por columnas.
Los valores de la columna 1 de la matriz de rigidez, son las fuerzas necesarias en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 1, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los valores de la columna 2 de la matriz de rigidez, son las fuerzas y momentos
necesarios en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los valores de la columna 3 de la matriz de rigidez, son las fuerzas y momentos
necesarios en cada grado de libertad para producir un giro unitario en el grado de libertad 3, al mismo tiempo que se
restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de libertad.
Los valores de la columna 4 de la matriz de rigidez, son las fuerzas necesarias en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 4, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los valores de la columna 5 de la matriz de rigidez, son las fuerzas y momentos
necesarios en cada grado de libertad para producir un desplazamiento unitario en el grado de libertad 5, al mismo tiempo
que se restringe todo movimiento (traslación o giro) en los demás grados de
libertad.
Los
valores de la columna 6 de la matriz de
rigidez, son las fuerzas y momentos necesarios en cada grado de libertad
para producir un giro unitario en el
grado de libertad 6, al mismo tiempo que se restringe todo movimiento
(traslación o giro) en los demás grados de libertad.
